Mióta az iskolákban matematikát tanítanak, szinte folyton felvetődik a matematikatanítás reformjának a kérdése, illetve igénye. Ez a kérdés vagy inkább igény minden időben kettősarcú: mit tanítsunk matematika címén, és hogyan tanítsuk a kiválasztott anyagot? Egy-egy radikálisabb reform után természetesen következett egy csendesebb, nyugodtabb, látszatra problémamentes időszak. De ez rendszerint csak rövid ideig tartott.

Ha ennek a folytonos változásnak, újítási törekvésnek okait kutatjuk, főképpen három ok tűnik szemünkbe. Az első: a matematika fejlődése, haladása, új szempontok, fogalmak kialakulása. A másik ok a pedagógia és a pszichológia tudományának fejlődése: újabb eredményeik jelentős hatással vannak a matematika tanítására. Sőt sokszor az új utak meghatározásában is döntő szerepük van. A harmadik tényező a középiskola feladatáról, céljáról időnként változó nézeteink alakulása.

Mi legyen a középiskola célja? Adjon általános műveltséget, vagy készítsen elő az egyetemi stúdiumok végzésére? Vagy neveljen az életre: tegye képessé a tanulókat arra, hogy minél előbb beállhassanak abba a munkába, melyet a jelen és a következő nemzedéknek kell elvégeznie?

Ha általános műveltséget akar adni a középiskola, akkor mi az, amit a matematikából közkinccsé kell tenni? Más szóval: mik a matematikának azon részei melyeket az általános műveltség elemeinek ismerünk, illetve vallunk? Mi az, amit minden művelt embernek ismernie, tudnia kell ebből a tudományból? Már ebben a kérdésben is – mint általában a többi részletkérdésben is – nagyon megoszlanak a vélemények. Egyesek szerint elég a négy alapművelet ismerete, talán még illik ismerni a törteket és a százalékszámítás problémáit. Hiszen – amint mondani szokták – például a másodfokú egyenletek megoldására soha sincs szükség az életben. Mások véleménye szerint még a másodfokú egyenletek ismerete is kevés ahhoz, hogy az egyén önmagát művelt embernek tekinthesse. A differenciál- és integrálszámítás alapfogalmainak ismerete is hozzátartozik az általános műveltséghez. Sőt ma talán még olyanok is akadnak ebben a táborban, akiknek véleménye szerint nem tarthatja magát művelt embernek az, aki a halmazelmélet elemeivel nincs tisztában.

Ezzel kapcsolatban szólni kell azokról is, akik azt hangoztatják, hogy a középfokú műveltséghez a matematikának nem ez vagy az a része tartozik, nem kevesebb vagy sokkal nagyobb mennyisége, hanem a matematikai gondolkodásmód ismerete. Az önálló problémalátás és e meglátott problémák megoldásának készsége jellemzik a művelt embert. Vagyis a műveltséghez azoknak a szellemi értékeknek elsajátítása tartozik, amelyeket a matematika tanulása fejleszt ki.

Akik az egyetemre való felkészítést tekintik a középiskola főfeladatának, azok természetesen az egyetem szempontjait, igényeit nézik. Tévedés volna azt gondolni, hogy ezek minél több matematikát akarnak begyömöszölni az egyetemre készülő fiatalok agyába. De az is érthető, hogy megvannak a maguk „anyagi” követelményei is: legyenek tisztában a tanulók a most előírt középiskolai anyaggal, de jó lenne, ha sokkal többet tudnának a vektorokról, a mátrixokról és jártasak lennének a kombinatorika elemeiben, és ismerjék a valószínűségszámítás problémakörét és megoldásaik útjait. Sőt mindinkább kívánatosnak érzik, hogy az információ alapfogalmait is ismerjék azok, akik az egyetem kapuján kopogtatnak. De mindezeket a követelményeket nem a verbális tudás szintjén, hanem sokkal inkább a megértés fokán kell tudniok a tanulóknak.

Reimann István a Matematika Tanításában így ír: „Az egyetem azt várja a felvételre jelentkezőktől, hogy a középiskolai anyag minden lényeges részét ismerjék, ne csak verbálisan, hanem értelemszerűen, és az anyagban szereplő tételek és definíciók szabatos elmondása mellett megkívánja azok alkalmazását is…. Éppen ezért helytelenül készíti elő tanítványait az egyetemi felvételre az a tanár, aki pongyola módon az egyetemi anyag egy részét tanultatja meg a jelentkezőkkel. Erre semmi szükség nincs. A középiskolai anyagot kell megtanulni és elmélyíteni; csak ha ez kifogástalanul megy, akkor kerülhet sor a Ťmagasabb matematikárať. Az alapműveletek pontos ismerete, a gyökműveletek biztonságos kezelése, a geometriai szerkesztési készség sokkal fontosabbak az egyetemi kezdés szempontjából, mint például bizonyos formálisan kezelt differenciálási és integrálási szabályok.”

Ezzel döntő jelentőségű kérdéshez jutottunk. Tanítsunk-e középiskolában differenciálást és integrálást? Ezt a kérdést magam nem tudom, de nem is akarom eldönteni. De nem is könnyű ez a kérdés. Már 60-70 esztendeje, ha nem több, hogy napirenden van ez a probléma. Hol pozitív, hol negatív a döntés. Más szóval: egyszer tanítunk differenciál- és integrálszámítást, máskor kihagyjuk a tantervből. Külföldön, tudomásom szerint, majdnem mindenütt szerepel a tantervekben, és nem is mindenütt mostohán.

A harmincas évek közepe táján Debrecenben az egyetem matematikusát, Dávid Lajos professzort, az egyetem orvostudományi karának tanárai megkérték, hogy tartson nekik differenciál- és integrálszámítási kurzust, mert – ahogy mondák – mindinkább nehéz nekik megérteniök a külföldi folyóiratok orvostudományi cikkeit e kalkulus ismerete nélkül. Igen: a differenciál- és integrálszámítás ismerete szükséges nemcsak a mérnököknek és a matematikusoknak, hanem az egyéb tudományos területen dolgozóknak, kutatóknak is. Mégis, nem merném azt mondani, hogy nélkülözhetetlen eleme, alkotórésze a középiskolát végzett, tehát a szellemi pályákon dolgozók műveltségének.

Ha ma valamely egyetemi kar professzorai megint felkeresnék matematikus kollégájukat, nem arra kérnék, hogy a differenciál- és integrálszámítás rejtelmeibe vezesse be őket, hanem elsősorban azt kérnék, hogy ismertesse meg őket a halmazelmélet elemeivel, és talán tanítsa meg őket a valószínűségszámításra, meg az információ elemeire. Vagyis ismét fordult egyet a világ a matematika berkeiben.

Divatról, vagy kényszerítő szükségletről van itt szó? A halmazelméletre, illetve szerényebben a halmazelmélet elemeire, alapfogalmaira ma már nemcsak az egyetemi oktatóknak van szükségük. Ma a matematikusok és matematikai didaktikával foglalkozó pedagógusok közös meggyőződése, hogy ez az alapvető fogalom annyira fontos, szükséges és hasznos, hogy ajánlatos már az általános iskolában megismertetni vele a tanulókat. Sőt mi több, – bár ezt túlzásnak tartom – már az óvoda küszöbét is átlépte a halmaz fogalma, amely pedig a matematikában is csak alig százéves. Georg Cantor, a halmazelmélet megalapítója a „Crelles Journal für die reine und angewandte Mathematik” folyóiratban 1874-ben közölte első tanulmányát a halmazelméletről: Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen című írásában. Ezt az évet tekintjük a halmazelmélet születésének.

Ma az általános és a középiskolákban a matematikai órákon mindennapi fogalom lett a halmaz fogalma. Nem csodálom, hogy apostolai és igen kemény ellenzői vannak.

Az ellenfelek rendszerint a szülői társadalomból kerülnek ki. Ennek több érthető oka van. Először is kényelmetlenül érzik magukat a szülők, mikor gyermekük hozzájuk fordul segítségért. Zavarban vannak, mert nemigen tudnak segíteni. És éppen ezért nem is látják értelmét az egésznek. Ehhez járulnak még saját iskolás, gyermekkori emlékeik. Ők nagyszerűen tudtak összeadni, kivonni: kitűnően ismerték a „kis egyszer-egyet”. Szóval tudtak számolni. Most azzal vádolják az iskolát, hogy értelmetlen dolgokkal foglalkoznak – például négy vagy öt majdnem azonos ábrán meg kell keresni a rejtett különbségeket –, de azt nem tudják, hogy ez mire való, csak azt látják, hogy gyermekük még most sem tud számolni, pedig ebben a korban ők mennyivel többet tudtak. Azt hiszik, hogy a matematika tanításának szinte egyetlen feladata, hogy megtanítson számolni. Nem tudják, hogy a matematika az a tudomány, „amely megtanít bennünket, hogyan lehet a számolást elkerülni” – amint ezt a matematika egyik szellemes meghatározása mondja.

Egyébként is, ma a számológépek gyors elterjedése és népszerűsége fölöslegessé teszi, hogy nehéz szorzási, vagy osztási műveleteket magunk végezzünk el. De még összeadnunk, kivonnunk sem kell. Ám ez nem azt jelenti, hogy nincs szükségünk matematikára. Sőt a számológépek elterjedése miatt van szükségünk igazi matematikára, mert a számológépek kezelésének ismerete mellett a matematikai tudásunkon múlik, hogy egy-egy bonyolultabb számítást hogyan és milyen gyorsan tudunk elvégezni a géppel.

Kétségtelen, hogy a halmaz fogalom bevezetése körül voltak, és talán még most is akadnak túlzások. Ezért ma már bizonyos fokú visszafordulást is lehet itt-ott látni. De a halmazelmélet elemeit iskoláinkból nem lehet már semmilyen szülői elégedetlenség miatt sem kiiktatni. Először is azért nem, mert ha igazak is lennének a fenti szülői vádak, az a szellemi kincs, az a tudásmennyiség, amit a mai matematikai oktatás ad, felmérhetetlenül értékesebb, mint a kis egyszeregy fejből való tudása.

Hogy nehézségek vannak, azt nem tagadjuk. Ezek okait érdemes keresni, sőt fel kell deríteni. (Csak egyetlen okot írok le ide zárójelben: ma még kevés tapasztalata van az „új matematikát” tanító pedagógusoknak, és egy részük még maga sem látja a lényeget. De ott, ahol ezek a hibák nincsenek meg, a korszerű matematikatanítás eredményeit, előnyeit a többi tantárgy tanárai is érzik és méltányolják.)

De hát miért is kell foglalkozni a halmazokkal az iskolákban? Erre a kérdésre először egy idézettel felelek: Gert Böhme Anwendungsorientierte Mathematik négykötetes művének, első – Algebra című – kötetében így ír: „A matematika egész felépítésére döntő befolyása van a halmaz fogalomnak. Majdnem minden egyes matematikai fogalom visszavezethető a halmaz fogalomra. A halmazelmélet áthatja a matematika minden ágát, lehetővé teszi, hogy egységesen, gazdaságosan és szigorú logikai precizitással írjuk le a matematika sokféle eredményét.” Ehhez még csak annyit teszek hozzá, hogy a halmaz fogalom például az egyenletek megoldásának elméletét sokkal világosabbá, áttekinthetőbbé és könnyebben érthetővé tette. Az eddigi szemlélet a matematikát olyan épülettömbhöz hasonlónak tekintette, amelynek építményei szinte függetlenek voltak egymástól: algebra, geometria, függvénytan stb. A halmazelmélet mutatta meg, hogy a matematika nem különálló, egymástól független tudományok mozaikszerű összessége, hanem egységes tudomány, amelynek ágai a legszorosabb, mondhatni szerves összefüggésben vannak egymással.

Hangsúlyoznunk kell, hogy az általános és a középiskolákban nem halmazelméletet tanítunk, hanem ennek az új tudományágnak fogalmait használjuk fel, amikor bizonyítunk, definiálunk, vagy új fogalmakat alakítunk ki. Ezen az úton áttekinthetőbbé, és így érthetőbbé tehetjük tanítványaink számára a matematikát. Mindig az volt a matematika tanításának és tanulásának legnagyabb veszedelme, hogy verbalizmussá fajult: az ismeretek megszerzésének a „magolás” volt a módszere, nem pedig a fogalmak és tételek megértése. Most, amikor olyan eszközt kaptunk a kezünkbe, amellyel könnyebben érthetővé. világosabbá, szebbé, egységesebbé, vonzóbbá tehetjük a matematikát, miért dobnánk el ezt a lehetőséget? A túlzásoktól természetesen óvakodnunk kell. Az új matematika és az új módszer megkívánja, hogy a matematikát tanítók is tanuljanak.

Amikor a matematika tanításának új útjairól szólunk, sok kisebb-nagyobb jelentőségű egyéb kíséretről is írhatnánk még. Ezek a kísérletek azonban inkább a szakembereket érdeklik. Ezért itt még csak egy újdonságról kell említést tenni. Az 1979-80-as tanévben a gimnáziumi oktatásban bevezetést nyer a fakultatív tanítás. Lényege, hogy a második osztály elvégzése után a tanuló – érdeklődési irányának megfelelően – választhat, hogy mely tantárgyakat akarja jobban, nagyobb óraszámban tanulni. Ezzel kapcsolatban még semmi tapasztalatunk nincs, ezért a véleményalkotás lehetetlen. Valószínű, hogy a tanulók tanulási kedvét emelni fogja; várható, hogy jobban felkészülhetnek az egyetemre, de hogy az általános műveltség szintjét emelni fogja-e, az kényes kérdés.