A matematikát a nehéz tantárgyak közé sorolja a legtöbb ember. Sőt, ha középiskolás múltjukról beszélnek, a legtöbben szinte kérkedve mondják, hogy nem szerették, nem is értették a matematikát. Nem nekik való tudománynak érzik. Sokan még azt is elmondják, hogy más tárgyakból a legjobbak között voltak – a matematika azonban nem ment. Ismertem valakit, akiről tudtam, hogy diákkorában az osztály legjobb latinistája volt, de jaj, a matematika! Csak akkor tudott lefelelni, ha elsőnek hívták ki. De ha a tanár belekérdezett a feleletébe, vagy ha egy osztálytársa már megkezdte a felelést, és más betűt talált használni, mint a tankönyv – akkor ő már csak beszekundázni tudott. Volt olyan tanítványom, aki minden olyan példát meg tudott oldani, amilyennel egyszer már foglalkoztunk, de ha csak kevés változás is volt a feladatban, a megoldása már nem ment. És bizony a tanulók nagy többsége ebbe a kategóriába tartozik.
De csak a többsége. Mert van egy sokkal vékonyabb réteg, amely szerint a matematika a legkönnyebb tantárgy. Nagyzolás és hencegés nélkül állíthatják magukról, hogy matematikát alig, vagy éppen semmit sem tanulnak, legfeljebb a házi feladatokat készítik el. De ezek megoldásához tized annyi időre sincs szükségük, mint osztálytársaik zömének. és mégis jelesek. Hol van hát az igazság? Valóban nehéz tantárgy a matematika?
Valóban az. De éppen ezért meg kell vizsgálnunk, hogy ott, ahol nehézségek vannak, mik e nehézségek okai. Az ilyen természetű vizsgálatokban nincs hiány. Talán egyetlen tantárgynak sincs olyan gazdag didaktikai és módszertani irodalma, mint a matematikának. Pedagógusok, pszichológusok és matematikusok egyaránt keresik azokat az utakat, módokat, amelyekkel jobb eredményeket érhetünk el, mint manapság. De igazán megnyugtató sikerről, sajnos, még mindig nem számolhatunk be. Ha akad is egy-egy kiváló eredményeket felmutató pedagógus és iskolája, követői már nem mindig tudnak a nyomukba lépni. Dienes Zoltán és iskolája például forradalmat csinált a matematikatanítás terén: kiváló eredményeket mutattak fel. Azután, amikor sikereik láttára elterjedt, sőt több helyen kötelezővé lett iskolájuk módszere, vagyis amikor epigonok is átvették módszerét: egyszerre kiderült, hogy ez az út sem eredményesebb, mint az eddigiek. Sőt, a tanulók most már „számolni sem tudnak”, amit az eddigiek mégiscsak megtanultak.
Vannak, akik azt mondják, hogy azért nehéz a tanulók nagy részének a matematika, mert nem a gyakorlati élethez kapcsoljuk. A gyakorlati életből kell venni a feladatokat és problémákat. Majdnem azt mondhatnám: érdekeltté kell tenni a tanulókat a tanulásban, akkor majd megy a matematika. Mások azt mondják, széppé kell tenni a matematikát: meg kell mutatni szépségeit, belső, más szóval saját logikáját, és ezen az úton kell a tanulókhoz férkőzni. Ismét mások szerint valósággal költészetté kell varázsolni, amit tanítunk. Ahogyan bemutatjuk egy-egy költő szép alkotását és összehasonlítjuk más írók hasonló munkáival, úgy kell tennünk a matematikában is. Mutassunk rá, hogy a tanulóknak hosszadalmas, körülményes feladatmegoldásával szemben mennyivel egyszerűbben, tömörebben és éppen ezért „elegánsabban” is megoldható ugyanez a feladat. Játékossá kell tenni a matematikát – szól egy másik vélemény. Ne is vegyék észre a tanulók, hogy matematikát tanulnak: mindent játékként ismerjenek meg.
Akik a tanulók oldaláról nézik a problémát és a modern pszichológiában is jártasak, azok meg arra esküsznek, hogy a tanulókat aktivizálni kell. Ne passzív befogadói legyenek a matematikai igazságoknak, hanem feldolgozói, majdnem feltalálói. A tanár szerepe ezért nem a tanítás, hanem a vezetés. Úgy kell irányítania a tanulók munkáját, hogy szívesen dolgozzanak, eljussanak a matematikai igazságok felismeréséhez, és így sikerélményeik révén szeressék meg ezt a tudományt.
Ezek a vélemények mind a tanítás-tanulás technikájának egy-egy vonását, részletét ragadják meg, és éppen ezért mind tartalmaznak igazságot, de csak részigazságot. Úgy érzem, hogy már itt ki kell mondanom, hogy nincs és nem is képzelhető el olyan egyetlen elv, amely egymagában megoldja a matematikatanítás összes problémáját. Inkább az említett részigazságok szintézise vezethet eredményekre.
Mindenekelőtt meg kell vizsgálnunk magát a matematikát, és fel kell kutatnunk azokat a speciális tulajdonságait, amelyek tapasztalataink vagy véleményünk szerint okai lehetnek a nehézségeknek. De nemcsak ezt a kiindulópontot kell megvizsgálnunk, hanem a célpontot is: a tanulót. Mik az oly sokszor felpanaszolt nehézségek okai a tanuló részéről? Milyen hibáik, hiányaik okozzák a valóban sokszor tapasztalt eredménytelenséget?
A matematikától a tanulóig vezető utat is meg kell vizsgálnunk. Melyik az az út, amelyen a tanuló eljut a matematika megismeréséig? A tankönyv és a tanár, esetleg a tanuló jegyzetei. Mi a tankönyv szerepe? Látnunk kell a tanár, a tanító pedagógus szerepét is, és meg kell keresnünk azokat a hibákat, hiányosságokat, amelyek itt nehezítik meg a matematikát, illetve megtanulását.
Hogy keresnünk kell a jobb megoldásokat, azt a matematika állítólagos nehézségén kívül tapasztalataink is sürgetik. Az érettségi- és a felvételi vizsgálatok néha igen gyengén sikerült dolgozatai ezt éppen olyan erővel bizonyítják, mint egyéni észleleteink. Egyszer egy érettségin minden csoport egy-egy tagjától megkérdeztem, hogyan szorzunk szorzatot egy számmal. Senki sem tudott rá helyes választ adni, az utolsó csoportban kérdezetten kívül. Ő viszont bevallotta, hogy erre a kérdésre már előkészítették.
Wagenschein mondja Die Tragik des Mathematikunterrichts című munkájában: a legtöbb érettségiző, aki pedig a differenciálás és integrálás mesterségében járatos, nem tud arra a kérdésre válaszolni, miért pozitív két negatív szám szorzata, vagy pongyola diáknyelven fogalmazva: mínusszor mínusz miért plusz?
A matematikatanítás sokszor nagyon gyenge eredménye mutatja leginkább, hogy a tanulók elég nagy százalékának bizony nehéz ez a tantárgy. Szándékosan nem írtam azt, hogy „ez a tudomány”, mert a középiskolában – az általános iskolában még kevésbé – nem a matematika tudományát tanítjuk, hanem csak ennek a tudománynak a legelemeit. Nem a matematika tudományát akarjuk elsajátíttatni, hanem csak e tudomány küszöbéig szeretnénk elvezetni tanítványainkat. A matematika gondolatvilágával akarjuk megismertetni tanulóinkat, továbbá a matematikai megismerés módszereivel – úgy, hogy ezek birtokában képesek legyenek a matematika tudományába is behatolni, és az ún. felsőbb matematikát is tanulmányozni, megérteni. Másrészt a matematika tanításának az is feladata, hogy a gyakorlati életben felmerülő matematikai problémák önálló megoldására képessé tegye a tanulókat. „A gyermek nem arra született, hogy matematikus legyen, de arra igen, hogy találkozzék a matematikával. Tehát nemcsak arra késztet bennünket a matematika, hogy megtanuljunk gondolkozni: magát a matematikát akarjuk felfedezni, mégpedig mint olyan valamit, ami emberi mivoltunkhoz tartozik. Aki a matematikummal nem találkozik, az az embert sem ismeri.” Ez az utóbbi gondolat Wagenscheintől származik.
Itt két kitérő megjegyzést kell tenni. Először: éppen azért, mert mindössze csak a tudomány küszöbéig akarunk eljutni szembe kell szállnunk azzal a közhiedelemmel. hogy a középiskolai matematika sok ember számára már olyan nehéz, hogy szinte megtanulhatatlan. Másodszor: amikor megállapítjuk, mit tanítsunk matematika címén a középiskolában akkor elsősorban nem a matematika tudománya irányít bennünket, hanem egyéb szempontok. A középiskola kettős arcú iskola: részben az egyetemi tanulmányokra készít elő, részben bizonyos életpályákra. Amikor tehát azt keressük, hogy mit tanítsunk, azt kell szemünk elé állítanunk, hogy – véleményünk szerint – mire lesz szüksége a felnövekvő generációnak. Ez magyarázza meg azt, hogy a tantervek nem merev építmények, hanem gyakran nagyon is sok változásnak vannak kitéve.
(A MATEMATIKA) Ezek után lássuk, milyen gátló tényezőknek van szerepük a matematikatanulás és -tanítás szellemi tevékenységében. Először azt nézzük meg milyen nehézségeket támaszt maga a matematika.
A legnagyobb vád a matematika ellen az, hogy száraz tudomány. Egy angol diák geometria tankönyvének margójára ezt a versikét írta: Ha még egyszer vízözön találna lenni, / ne ám, hogy felkéredzkedj valami bárkára! / Ide gyere: / ha az egész világ víz alá süllyed is, / ez a könyv – száraz marad.
Mit jelent ez a vád? A többi tudomány nem száraz? De igen, ha szárazon adják elő. A matematika fokozottabban azzá lehet, mert mindig szigorú logikával építi egyik igazságát a másikra. Ezt a tulajdonságát Wagenschein „Turmcharakter”-nek nevezi. Sokan ebben a „Turmcharakter”-ben, a matematika belső logikájában látják a fő nehézséget. Azt szokták mondani: Afrika földrajzát megtanulhatja a diák Ázsia földrajzának ismerete nélkül is (ami persze csak részben igaz), a matematikában viszont egy részlet nem ismerése, vagy meg nem értése a következő részek meg nem értését okozhatja.
Ami a matematika „logikus tudomány” mivoltát illeti erre az a válaszunk: valóban logikus tudomány, de minden tudomány az. Minden tudomány feltételez bizonyos logikai készséget a tanulóktól, de egyben nevel is logikára. Ezt teszi a matematika is. De csak akkor, ha a tanításban valóban logikára építünk. Mindig büszkén emlegetjük, hogy a matematika a leglogikusabb tudomány, és leginkább a matematika tanítja meg logikus gondolkodásra a tanulókat. Néhány évvel ezelőtt, pontosabban az 1961/62-es tanévben olvastam Steiner Logische Probleme in Mathematikunterricht című tanulmánysorozatát. Kénytelen voltam megállapítani magamról, hogy éppen én, a matematikatanár, vétek legtöbbet a logika ellen. Így azután természetes, hogy nehéz a matematika. Eszembe jut van der Waerden mondása: „Csak az igazságot lehet megérteni; ami nem igazság, azt megérteni nem lehet, legfeljebb elhinni”. Hány tanulónk mondhatná el magáról, hogy ő inkább elhiszi, mint érti a matematikát?
Egy további, szintén a matematika természetéből következő nehézség az, hogy absztrakt fogalmakkal dolgozik. Maga a számfogalom is absztrakció eredménye. De a legegyszerűbb geometriai fogalmaink is absztrakciók: pont, egyenes, négyzet, kör stb. Ez is nagyon megnehezíti a matematika tanítását, illetve tanulását. Egyrészt fogalmainkra nem tudunk úgy rámutatni, mint a konkrét tárgyakra, másrészt az absztraháló tehetség sincs meg minden tanulóban a kellő mértékben. A matematika fogalmait hosszadalmas absztraháló munkával kell kialakítanunk. Ez sokszor nehéz és sok időt kívánó munka. Elhanyagolása pedig lehetetlenné teszi a továbbhaladást. Ha például nem alakítottuk ki a tanulóban a határérték fogalmát, erre a számára „nem létező” fogalomra nem építhetjük fel a differenciálhányados fogalmát. Igen sok tanulónál ez okozza a csődöt. A legegyszerűbb – nekünk legegyszerűbbnek tűnő – fogalmakat sem ismerik. Egyszer egy harmadikos gimnazistától azt kértem, mondjon egy szorzatot. Nem tudott mondani. Természetes, hogy gyenge volt matematikából. És miért ne lenne? Ilyen körülmények között természetes, hogy nem is szerette a matematikát.
A matematika absztrakt mivoltával függ össze egy másik nehézség, amelyet csak röviden akarok érinteni. Ez a matematika nyelve. Sok tanuló számára a formanyelvével közölt igazságok (például az ún. képletek) nem mondanak semmit. Éppen olyan idegenül állnak velük szemben, mint egy sosem hallott nyelven beszélővel szemben.
Itt kell említenünk, hogy fogalmaink elnevezését (nevét) a köznapi életből vesszük, de mivel a két szóhasználat nem pontosan ugyanazt a fogalmat jelenti, ebből igen sok félreértés támad. Mindig nagyon pontosan kell tisztáznunk fogalmaink körét és tartalmát. Ha ezt elmulasztjuk, vétünk a logikai tisztánlátás ellen. Ez sokszor kínosnak látszó precizitás, és sok embernek, főként gyermekeknek és serdülőknek, nem ízlik.
A fogalmi tisztánlátással van összefüggésben, hogy ha egy matematikai igazságot kimondunk, azt érteni is kell. A köznapi beszédben ezt a mondatot: „Tegnap délután kisétáltam Mariskával az erdőbe ibolyát szedni” – mindenki megérti akkor is, ha szeme előtt nem jeleníti meg sem az erdő, sem az ibolya, sem az ibolyaszedés képét. De ha ezt mondom: „A háromszög bármelyik belső szögfelezője a szemközti oldalt a másik két oldal arányában osztja” – ezt csak az érti meg, aki felidézi szeme előtt: tehát látja a háromszöget, a szögfelezőt, és tudja mit jelent egy szakaszt másik két szakasz arányában osztani. A matematikában jártas embernek erre nincs szüksége, de aki nem otthonos a matematikában, és nem szokta meg a sajátos szellemi tevékenységet, annak tudása verbális szinten marad, tehát csak formális lesz.
A matematika az a tudomány, amelyet nem tudni, hanem érteni kell. Sőt ennél is tovább kell mennünk. A matematika tudásszintjei a következők: a legalacsonyabb szint a kívánt (vagy előírt) tudásanyag verbális ismerete. Ez tulajdonképpen nem is nevezhető tudásnak. A második, jóval magasabb szint a tanult, megismert anyag értése. De ez sem minden. Aki a megszerzett anyagon nem tud uralkodni az nem mondhatja magáról, hogy tudja is a matematikát. A matematika épülete egységes épület, de aki ezt az egységet nem látja, aki csak mozaikokat lát, az éppen a legszebb élménytől van megfosztva. Az ilyen ember számára a matematika részeinek a megértése és megtanulása sokkal nehezebb, mint annak, aki valamilyen módon egységben látja az egészet. Ez azért is fontos, mert a tudásszint következő fokozata: az alkalmazni tudás. Ennek iskolai vetülete a feladatok önálló megoldása. Milyen feladatokról van itt szó? Nyilván nem a már látott, megoldott feladatokról, és nem az ún. rutin és gyakorló példákról. Ezeknek is megvan a matematika megtanulásában, a maguk fontos szerepe. (Például egy-egy fogalom kialakításában, a megszerzett ismeretek rögzítésében stb.) Olyan feladatok megoldásáról van szó, amelyek a tanult ismeretek mozgósítását, analízisét, részekre bontását, majd új formába öntését, szintézisét igénylik. Vagyis ez a magasabb szint a tudásnak a statikus állapotból a dinamikus állapotba emelését jelenti. Ezt a követelményt általában így fogalmazzuk meg: legyen a tanulónak készsége közepes nehézségű feladatok önálló megoldására. Csak mellékesen említem meg: a tudásnak ez a foka elegendő ahhoz, hogy középiskolában jeles minősítést kapjon a tanuló, de nem elégséges ahhoz, hogy „matematikusnak” érezze magát. Mert matematikus a szó igazi értelmében csak az, aki látja a matematikát; aki a mindennapi élet különböző szituációiban észreveszi a matematikumot, aki teremti, megalkotja a matematikát.
Wagenschein még két olyan okot említ, amelyek a matematika természetéből fakadnak és szerepük van abban, hogy a matematikát nehéz megtanulni. Az egyik ok az, hogy a matematika-tudás automatizálódhat. Vagyis bizonyos „praktikákat” elsajátíthat olyan tanuló is, aki az egészből semmit, vagy alig valamit ért. Például nagyon jól tudja a törtekkel való műveletek szabályait, nemcsak elmondani, de alkalmazni is, bár fogalma sincs arról, hogy mi miért történik. Még fokozottabb mértékben igaz ez az algebrára és differenciálszámításra. Nagyon ide kívánkozik egy matematikus tréfás mondása: „Az arabok (az algebra feltalálói) azon törték a fejűket, hogyan mentesítsenek bennünket a gondolkodás kötelezettsége alól”. Pedig a matematika szabályait, azonosságait (automatizmusait) azért használjuk, hogy hozzásegítsenek bennünket magasabb, vagy ha tetszik, mélyebb gondolkodási szinthez. Arra valók, hogy ne kelljen minden esetben a legelemibb logikai lépésekig visszamennünk. Ezáltal gondolatmeneteink meggyorsítását teszik lehetővé. De ha puszta automatizmusokká válnak, vagyis elszakadnak a megértés szellemi funkciójától, akkor egyszerűen: veszedelmesek. Különösen azért káros ez a meg nem értésen alapuló, inkább manipuláló matematika, mert meglehetősen könnyen elpalástolható. Sok esetben maga a tanuló sem tud különbséget tenni tudás és értés között. Egy érettségi előtt álló leány vallomásából való a következő idézet: „A táblánál lefeleltem a leckét, bebizonyítottam a tételt, kihoztam a helyes eredményt, x = 2-t; de senki a jelenlévők közül nem vette észre, hogy az egészből nem értek semmit.”
A másik tényező, amely – Wagenschein szerint – megnehezíti a matematika tanulását, egészen megdöbbentő. Ő maga is kétélű fegyvernek nevezi. Ez a fegyver: a matematika alkalmazhatósága. Valóban elgondolkodtató Wagenscheinnek ez a megállapítása. Hiszen láttuk már azt a véleményt, hogy a matematikát úgy kellene vonzóbbá tenni és ezáltal könnyebbé a megtanulását, hogy az életből, vagyis a gyakorlatból vett problémákat visszük a tanulók elé. Olyan feladatokkal foglalkozunk, amelyek érdeklik őket. És most azt kell hallani, hogy ez teszi nehézzé a matematikát? Az ellentét feloldása abban van, hogy az életből, vagy az egyes tudományok területéről vett példák csak annyiban segítik a matematika megszerettetését és megértését, amennyiben azokat le tudjuk egyszerűsíteni a kellő szintre. De ezzel lényegében el is szakadunk bizonyos fokig gyakorlattól és az illető tudománytól, amelyből a példát vettük. A sajátos tudományos problémák megoldásának színtere nem az általános műveltséget közvetítő középiskola, hanem a szakiskolák.
A fenti véleményt erősíti meg Katona Gyula és Szász Domokos cikkének (Magyar Nemzet, 1974. márc. 8-i szám) következő gondolata: „Véleményünk szerint a matematika bármilyen színtű oktatásában a célnak annak kell lennie, hogy a teljes matematikát oktassuk, bemutatva annak belső logikáját is, alkalmazhatóságát is. A csak segédeszköz jellegű oktatásnak az eddigiek mellett még egy hátránya van: a tanulók érdeklődését és szeretetét képtelen felkelteni.”
(„PONGYOLA” MATEMATIKA) Mielőtt a tanulók felé fordítanánk tekintetünket, még egy problémát tisztáznunk kell. Van olyan vélemény, amely szerint azért nehéz a matematika, mert kétféle matematika van. Egy szigorú, vaslogikával felépített és egy pongyola. Ez a kettősség zavarja meg a tanulókat. „Anélkül, hogy a részletekre kitérnék, azt kívánom állítani, hogy összetévesztjük az idealizált absztrakciókat a valódi világgal. A valóságnak vannak egzakt törvényszerűségei, ezek nem kevésbé egzaktak, mint az absztrakt matematika szabályai, csak jóval komplikáltabbak” (Magyar Nemzet, 1974. febr. 5-i szám). Nem hinném – tapasztalataim alapján sem – hogy valóban itt van a matematika megtanulásának valódi nehézsége. Hiszen éppen a fenti idézet mondja, hogy a „valóságnak vannak egzakt törvényei… csak jóval komplikáltabbak”. Nos, mi azt az absztrakt matematikát tanítjuk, melynek egzakt szabályai egyszerűek is, mert a való világ fogalmairól (fürdőmedence, „téglalap” alakú asztal) lefejtjük a lényegtelen tulajdonságokat (például kőből van a medence, fából készült és barnára van festve az asztal), és csak a „téglalapra” jellemző, lényeges tulajdonságokat emeljük ki. Természetes hogy az ezekre talált egzakt „szabályok”, vagy ha így tetszik: törvények csak megközelítően érvényesek a valóságos tárgyakra. Tehát például, ha az én absztrakt téglalapom területére azt kapom: „Úgy határozhatom meg területe mértékszámát, hogy a magasság és az alap hosszúságának mértékszámait összeszorzom”, – azt a leggyengébb tanuló is tudja, hogy ha ezen az úton számítom ki a téglalap alakú asztalom területét, közelítő értéket kapok csak. De ez a közelítő érték gyakorlatilag olyan jó, hogy aggályoskodás nélkül elfogadhatom igaznak. Ebben nincs nehézség.
Ami a pongyolaságot illeti, a logikai nevelés szempontjából igen káros: sok hiba forrása. De ki kell jelenteni, hogy a közelítő számítások nem tartoznak a „pongyola matematika” fogalmába. (De ezt nem is állítja egyetlen matematikus sem, legfeljebb a hozzá nem értőket téveszti meg az elnevezés.) A közelítő számításoknak megvannak a maguk szigorú és logikus, egzakt törvényei. Nagy előnyük, hogy hűségesebben írják le a valóság viszonyait, még ha törvényeik néha bonyolultabbak is.
Sajnos van pongyola matematika is. Tudniillik vannak olyan látszólagos bizonyítások, amelyek vétenek a logika szabályai ellen. Hogy miről is van itt szó, azt egy egyszerű példán könnyebb megmutatni. Állítom: minden szakaszos (tiszta, vagy vegyes szakaszos) tizedes szám felírható közönséges tört alakban. Ezt egy példán igazolom. Legyen: a = 0,232323… Hogy állításomat igazolhassam, szorozzuk meg ezt a számot 100-zal. 100 a = 23,2323… Most vonjuk ki ebből a számból az előzőt, vagyis a-t. Eredmény: 99 a = 23. Innen: a = 23/99. Ezzel a tételt igazoltam. Igen ám, de súlyosan vétettem a logika ellen. Hol van a vétek? A középiskolában nem igazoltuk, hogy a végtelen tizedes számot úgy kell szorozni egy számmal, jelen esetben 100-zal, mint a véges tizedes számokat. Milyen címen merem a véges tizedes számokra talált törvényt átvinni a végtelen szakaszos tizedes számokra? Ehhez nincs jogom. És ha mégis megteszem? Először is vétek a logika ellen, másodszor esetleg téves tételhez jutok, és végül harmadszor vétkezem a nevelés törvénye ellen, mert mint matematikatanárnak feladatom, hogy logikus gondolkozásra neveljem a rám bízottakat. És ehelyett becsapom őket. A becsületes eljárás itt az, hogy vagy nem beszélünk erről a tételről, vagy ha mégis beszélünk, akkor csak közöljük és megmondjuk, hogy később, ha meglesz a szükséges apparátusunk, majd bizonyítani is fogjuk.
De van a logikai nevelésnek másik módja is. Megmondom, hogy a tételt most még igazolni nem tudom. „De ismerek egy bizonyítást, amelyben egy, illetve két lépést vétek a logika ellen. Tessék megfigyelni, és megmondani nekem, hol csaltam!” Ez az eljárás először is élénkíti a tanítást, tetszik a tanulóknak, megfeszítik értelmüket: keresik a hibát, élesedik logikájuk. Különösen akkor következik ez be, ha ezt a logikai hibát azután külön is megtárgyaljuk. Megbeszéljük, és belátjuk, hogy a speciális esetből sohasem szabad az általánosabbra következtetni. Ezt könnyű egyszerű példával is szemléltetni: a négyzet átlói merőlegesek egymásra, ebből nem következik, hogy a paralelogramma átlói is merőlegesek egymásra, pedig a négyzet is paralelogramma. Viszont a paralelogramma átlói felezik egymást, tehát felezik egymást a négyzet átlói is, hiszen a négyzet is paralelogramma. Az ilyen természetű hiba sokszor fordul elő tanítási gyakorlatunkban, ha nem figyelünk rá. Egyszer megkérdeztem egy tanárt, hogy a negatív egész és a tört kitevős hatványok műveleti azonosságai miért olyanok, mint a természetes szám kitevőjű hatványoké? Válasz: mert a hatvány – hatvány. Ez ugyanaz a logikai hiba, mint az előbb megtárgyalt.
A pongyola matematika fogalmába tartozik még sok minden más is. Ilyenek: amikor valamely fogalmat, például számkört egy betűvel jelölünk, de nem közöljük a betű jelentését, vagy nem írjuk le pontosan azt, hogy a betű melyik számhalmaz elemeit jelenti. Pongyolaság, amikor közlünk egy képletet, de a betűk jelentését már nem adjuk meg. Pongyolaság, ha bebizonyítok egy tételt, és nem adom meg az érvényességi körét. Egyszer egy látogatásom alkalmával a szaktanár levezette a kör érintőjének egyenletét, mégpedig úgy, ahogyan a könyvben volt, csak nem hívta fel a tanulók figyelmét arra, hogy a tárgyalt esetben a kör milyen speciális helyzetű. A levezetés után kihívott a táblához egy tanulót, lediktált egy köregyenletet, és felszólította a felelőt, hogy határozza meg a kör érintőjének egyenletét egy megadott pontban. Mivel ez a kör nem a bizonyításkor használt speciális helyzetű volt, a tanuló pedig az imént levezetett képletet használta: rossz eredmény jött ki. Erre a tanár szidni kezdte a tanulót: „Mondtam, hogy a példát mindig gondolkodva kell megoldani; egyébként is, az előbb megismert eredmény nem mindig érvényes.” Ez tipikus példája a pongyola matematikának, vagy pontosabban a pongyola matematikatanításnak.
Amikor az egyenletek megoldásakor „átviszünk” ellenkező előjellel egy tagot, vagy amikor a szorzót osztónak visszük át, vagy „keresztbe szorzunk”, mind olyan kifejezés, amelynek jelentését a tanár világosan láthatja, de a tanulókat megtéveszti. A gyakorlatból tudom, milyen sok hiba forrása ez. Az ilyen kifejezések következménye az is, hogy a tanuló „elhagyja” az egyenlet mind a két oldalán az lg-t.
A logikai tisztánlátás hiányát bizonyítják a definíciók és tételek összekeverései. (Például bizonyítják, hogy a0 = 1). A definíciók elmondásánál előforduló hibák: a túl szűk, vagy a nagyon tág definíciók. Például: mi a paralelogramma? A paralelogramma négyszög. A másik véglet: a paralelogramma olyan négyszög, melynek szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlők, átlói pedig felezik egymást. – Igen gyakori hiba a logika ellen, hogy bebizonyítunk egy tételt, és azután – anélkül, hogy ennek jogosultságát igazolnánk – a tétel fordítottját használjuk fel. (Abból, hogy a 4-gyel osztható számok párosak, nem következik, hogy minden páros szám osztható 4-gyel.) – Találkoztam értelmetlen kifejezésekkel is: „Ez a két háromszög hasonló, mert megegyeznek két szögben és egy oldal arányában.” – Igyekeztem minél több példát hozni, és lehetőleg különböző területekről, hogy megmutassam, mennyit lehet hibázni a logika ellen, és így megnehezíteni a matematika megértését. Valóban ez a pongyolaság nagy kerékkötője a matematika megszerettetésének is.
(A TANULÓ) Milyen tanulói hibák, vagy hiányosságok állnak útjában a matematika megértésének és megszeretésének.
Itt sorra vehetjük az előző fejezetek egyes tételeit. A matematika száraz tudomány. Ha valóban az is lenne, ezen a tanuló nem segíthetne, csak szenvedhet benne. – A matematika szigorú logikával felépített tudomány. Mondtuk már, hogy éppen ezért megtanulásához már eleve bizonyos logikus gondolkodási készségre van szükség. Ezt azonban csak lassú, hosszú évekre nyúló, alapos és jól átgondolt munkával lehet fejleszteni. Nem szabad megfeledkeznünk a fokozatosságról és a tanulók fejlettségi szintjéről. Nem kezdhetjük a tanítást szigorú logikus gondolkodtatással, de vigyáznunk kell arra, hogy sose vétsünk a logika szabályai ellen, még a legkisebbnek tűnő vétekkel sem, mert ebben az esetben nem fejlesztjük, hanem rontjuk a tanulók logikáját. A tanuló részéről itt kettős a teendő. Követnie kell és meg kell értenie a matematika belső logikáját, másodszor a logikus lépések ismétlésével, megtanulásával sajátjává kell tenni ezt a belső logikát.
Igen sok tanulónál a matematika szemléletében látom a nehézségek okait. A matematikát, mint az emberen kívül adott, merev, kész rendszert nézik, ahelyett, hogy emberi alkotásnak néznék. Nagyon megsegíthetné a tanulókat, ha belátnák, hogy nem valami misztikus, érthetetlen mű előtt állnak, hanem olyan emberi alkotás előtt, amelyben ők is képesek alkotni, újat teremteni. Akkor emberi közelbe kerül hozzájuk a matematika, és nem lesz teljesen idegen. Ez a megállapítás érvényes természetesen a matematika fogalmaira is. Látnia kell a tanulónak, hogy egy-egy fogalom nem eleve adott, hanem lassú fejlődés, szellemi munka (absztrahálás) eredménye. Ha belátnák, hogy a matematika fogalmai nem merevek, hanem változhatnak, fejlődhetnek, tehát a matematika sem holt, hanem szervesen fejlődő tudomány, akkor egészen más szemmel néznének rá. Amint fejlődik a tanuló logikus gondolkodási készsége, úgy kell fejlődnie logikai igényének is. Ez elsősorban azt jelenti, hogy fokozatosan ki kell fejlődnie a tanuló bizonyítási igényének és kritikai érzékének is. (Kritika önmagával szemben: például a házi feladatok ellenőrzése, saját feleletének objektív megbírálása, de kritika a tanár kijelentéseivel szemben is. Elfogad-e bizonyítás nélkül egy állítást?)
A tanulók közül sokan gondolkodás nélkül fogadják a matematikát. Nem törődnek a megértéssel, inkább a verbális ismeret „visszajelentését” tartják fontosnak. Így találkozhatunk át nem gondolt tanulói általánosításokkal. (Ennek a szorzatnak értéke 1, tehát az egyik tényezője is egy, mert a tanártól ismételten hallotta. hogy ha egy szorzat nulla, akkor legalább az egyik tényezője is 0.) E most említett tétellel kapcsolatban még egy érdekesség: Ha a szorzat értéke nulla, akkor egyik tényezője is 0. Megfordítható ez a tétel? A legtöbb tanuló rossz választ ad erre a kérdésre.
Nagyon furcsán hangzik és nyilván kisarkítása az igazságnak az a pesszimista megállapítás, hogy „az iskola megbutítja a tanulókat”. De mit is akar mondani ez az állítás? A tanulókban megvan gyermekkoruk óta a kíváncsiság, az érteni, a megérteni tudás vágya. Ez pedig elárulja, hogy gondolkodnak is. Nos, az iskolában azután az egyszerű gondolkodás helyett sokszor valami komplikált, természetellenes gondolkodásmódot sajátítanak el. Minden gyermek előtt olyan egyszerűnek tűnik ez a kérdés: ha egy almából elveszem a negyedét, mennyi marad? És mit csinál a másodikos gimnazista. amikor a következő kérdés elé kerül: a2 – a2/4 =? Pedig ez ugyanaz a probléma. mint az előző. Sokszor az az érzésem, hogy nem helyes az a jelszó, hogy tanítsuk meg a tanulókat gondolkodni, hanem helyette ezt a programot kellene célul kitűznünk: vissza a természetes gondolkodáshoz.
Descartes mondja: „Azt hiszem, hogy a legnehezebb igazságok felfedezéséhez sem szükséges más, mint az egészséges emberi értelem, csak helyesen kell – ezt az értelmet – vezetni” (Die Regeln zur Leitung des Geistes-ből idézve).
A feladatok megoldásában is sokkal nagyobb szerepet játszik a gondolkodást pótló rutin, mint a gondolkodás. A szellemi erőkifejtést sokan egyszerűen nem is ismerik. Amikor egy feladat megoldásához egy kis fantázia is kellene, rögtön csődöt mondanak. A következő példa megoldását képtelen volt egy hatodikos általános iskolás elvégezni, sőt megérteni és reprodukálni: Egy tégla súlya 10 N és egy féltégla. Mekkora két tégla súlya? Egyszerűen nem tudja, mit kezdjen a kérdéssel, hogyan fogjon hozzá? Ennél a feladatnál – és igen sok más példánál is – segítségére lehetne a tanulónak a feladatban szereplő szituáció elképzelése. Magam elé képzelem a mérleget. Egyik serpenyőjébe a téglát „teszem”, a másikba a féltéglát és a 10 N-os súlyt. Majd mind a két serpenyőből – megint csak képzeletben – leveszek egy féltéglát; és meg van oldva a kérdés. Érdekes, hogy erre: a feladat adta szituáció elképzelésére milyen nehéz ránevelni a tanulókat. Mi ennek az oka? Lusták a szellemi erőkifejtésre. És itt érkeztünk el – véleményem szerint – a tanulók részéről felmerülő legnagyobb nehézséghez. Azért nehéz a matematika, mert sok tanulóban vagy egyáltalában nincs készség a tanulásra, vagy csak kampányszerűen tanulnak, vagy nem is tudják, hogyan kell tanulni a matematikát. Márpedig a matematika természete miatt (a már többször említett Turmcharakter) ez lehetetlen magatartás.
Persze nem mindig csak a lustaság miatt vannak kiesések: hosszabb ideig tartó betegségek, vagy néha csak egy-egy kiesett óra, sokszor még ennyi sem, hanem csak óra közben támadt fáradtság, álmosság, rendetlenkedés vagy váratlan zavaró esemény lehet az oka egy-egy logikai lépés kiesésének, egy láncszem meg nem értésének. Azt pedig még közepes tehetségű tanulóktól sem lehet elvárni. hogy önmaga állapítsa meg, hol és mit nem ért. Jellemző erre egy nem régi élményem. Volt egy jó tehetségű lány tanítványom, és ugyanakkor egy vele egyidős fiú tanítványom is. A fiú mindent „tudott”. Soha semmilyen problémája nem volt. Hiába kérdezgettem, ért-e mindent, nincsen-e valami nehézsége. Sosem voltak kívánságai, hogy ezt, vagy azt magyarázzam meg neki. A lány viszont sokszor jött szinte kétségbeesetten, hogy ezt sem, azt sem érti: magyarázzam meg. A lány jelesen végzett, a fiú megbukott.
A megértést gátló tényezők között szólnunk kell a tanulók gyenge emlékezőtehetségéről is. Ez a probléma ma sokkal több gondot okoz, mint régebben. Miért felejtenek olyan gyorsan és olyan sokat a tanulók? Nem beszélek itt az életritmusunk meggyorsulásáról, az információrobbanásról, a rádió és televízió hatásáról, hanem csak egyetlen szempontot ragadok meg: a megtanult anyag mozaikszerűségét emelem ki. A tanulók megszerzett ismereteiket nem tudják egymáshoz kötni. Ahogyan az épület falait gerendák fogják össze, úgy szilárdítaná meg a tanultakat és rögzítené meg tartósan emlékezetükben, ha az egyes részek közötti kapcsolatokat látnák, vagy ezeket észrevétetnénk velük. Mivel ez nem történik meg, továbbá a kellő begyakorlásra nincs mindig elegendő idő: nem csoda, hogy sok minden kiesik emlékezetükből. És ez a tény a matematika természete miatt az új anyag megértését teszi lehetetlenné.
Igen sok tanuló tanulási módja is hibás. Nem minden tantárgyat tanulhatunk ugyanazzal a módszerrel. Sőt, nagyon is különbözőknek kell lenniök ezeknek a tanulási módszereknek. A matematikát úgy kell tanulnunk, hogy előttünk papíros, kezünkben ceruza van, a tankönyvet vagy jegyzetet pedig oldalt helyezzük. Amit olvasunk, azt rögtön írjuk, vagy rajzoljuk is. Természetes, hogy erre a tanulási módszerre meg kell tanítanunk tanítványainkat. Sőt rá kell szoktatnunk őket. Néha egy-egy órából tíz-tizenöt percet arra kell használnunk, hogy egy könnyebb leckét előttünk tanuljanak meg. Megfigyeljük módszereiket, hibáikat megbeszéljük. Egy-egy ilyen tanulási kísérlet alkalmával megdöbbenve láthatjuk azt is, hogy a tanulók egy része olvasni sem tud. Szavakat, és nem értelmes mondatokat olvasnak. Így azután érthető, miért nem tudnak sokan a tankönyvből tanulni. Ha még azt is megemlítjük, hogy a tanulók általában inkább auditív típusúak, mint vizuálisak – megértjük a tanítói szó (magyarázat, vezetés) fontosságát, de egyben a pedagógus felelősségét is.
Nagy akadálya a matematika értelmes megtanulásának a tanulók rendszertelensége, rendetlensége. Nemcsak a házi feladatok elkészítésekor, hanem az órákon jegyzeteik készítésekor is sokan figyelmetlenségükkel tűnnek ki. Sokszor nemtörődömség az oka ennek, sokszor pedig a megfigyelőképesség hiánya, felületesség, dekoncentráció. Rosszul, rendetlenül elkészített és hibáktól hemzsegő jegyzetekből nem lehet tanulni; legalábbis értelmesen nem.
A matematikai feladatok lelkiismeretes elkészítése nagyban segítője a megértésnek. De csak az önálló, a saját munka eredménye megértés. A feladatok elkészítéséhez a megfelelő ismeretanyag tudásán kívül sokféle erényre van szükség: rendszeretetre, szorgalomra, munkafegyelemre, fantáziára, kombináló készségre, a megfelelő matematikai anyag dinamikus kezelésének készségére, akaraterőre, ami arra képesíti a tanulót, hogy a felmerülő nehézségek előtt ne hátráljon meg. Ezeknek az erényeknek hiánya, esetleg csak egyé vagy kettőé már könnyen megfosztja a tanulót a sikerélménytől.
A matematikát nehézzé tevő tényezők vizsgálatakor nem feledkezhetünk meg a térszemléletről. A térszemlélet hiánya ugyan – vagy talán jobb szóval: hiányossága – a matematikai anyagnak csak egy meglehetősen szűk részénél okoz bajt és támaszt nehézséget: a térgeometriában; gyakorlati szempontból azonban igen fontos a helyes térszemlélet, és ezért azt fejleszteni kell, már korai iskolás korban is. A tapasztalat azt mutatja, hogy ha túl későn kezdjük a térgeometria tanítását, elkorcsosul a térszemlélet, és akkor már nehezebben fejleszthető, mintha jóval korábban gondoskodnánk gyakorlásáról.
A tanuló oldaláról fennálló nehézségek között még egy objektív nehézséget kell megemlíteni. Azért nevezem objektívnak, mert a tanuló tulajdonképpen nem tehet róla. Az a tényező ez, amelyet Bruno de Finetti római egyetemi tanár Il „saper vedere” in matematica című könyvében a szétszedett rádióhoz hasonlít. Megvan minden alkatrész, hibátlanok is, de a rádió mégsem szólal meg. Össze kell illeszteni az alkatrészeket, mégpedig jól, akkor majd megszólal. A tanulók a matematikát apró részletekben kapják, és ezért csak mozaikokban látják. Ez természetes is, hiszen egyszerre nem ismerhetik meg az egész tudományt. Úgy is mondhatnám: a matematika épületének csak részleteit látják. És mivel nem láthatják egységben az egészet, nem érthetik az egyes részek kapcsolatát, szerepét és értelmét. És mivel nincs áttekintésük az egészről, sokszor elvesznek a részletekben, ami megnehezíti a matematikai igazságok megértését és megtanulását. Ezt sokszor tapasztaljuk, mikor a negyedik osztályban az érettségi előtt, újra áttekintjük az egész négy, sőt még több évi anyagot. Ilyenkor kellő összefüggésükben is megláttathatjuk a tanultakat és ekkor sokkal egyszerűbbnek tűnnek a régen nagyon nehéznek ítélt bizonyítások. Itt persze annak is szerepe van, hogy három-négy év alatt sokat fejlődött a tanulók logikája is.
(TANKÖNYV, JEGYZET) A tanulók részéről felmerülő nehézségek elemzése után a tankönyv és a matematikát tanító személy szerepét is meg kell vizsgálnunk. A tankönyvről itt csak nagyon vázlatosan akarok szólni, mert ennek a kérdésnek fejtegetése igen részletes külön tanulmányt igényel.
Megint a „száraz” váddal kell kezdenem. A kérdéssel kapcsolatos problémák megoldásának jó része a tankönyv feladata. Ne legyen száraz adathalmaz és csupa bizonyítás az egész könyv. Ne a kész anyagot adja, hanem késztessen munkára, gondolkodásra. Ne közölje az igazságokat, hanem vezessen el a tények megismerésének útjára. Használja fel a modern nyomdatechnika minden lehetőségét. Legyen jól áttekinthető, hogy szívesen forgassák a tanulók. Mégis: ne legyen túl bő. Ezt nem szeretik a diákok. Ha egy-egy órára öt-hat lapot kell átnézniök, vagy esetleg még többet, ettől elmegy a kedvük. Emelje ki a fontosat, a leglényegesebbet. Adjon szép mintamegoldásokat és mutasson rá a matematika szépségeire is. És sose vétsen a logika ellen. Ahol ilyen probléma felmerül, ott nyílt őszinteséggel beszéljen a nehézségekről és ne akarjon semmit elpalástolni. De azért ne akarjon mindent elmondani. Bízza ezt a pedagógusra. Ezért jó módszer, ha azon vagyunk, hogy minél rövidebb legyen a tankönyv.
Aztán legyen a tankönyv mellett egy igen alapos, részletes tanári segédkönyv. Ebben legyenek meg a tárgyhoz tartozó didaktikai és módszertani utalások, a történeti háttér, egyes bizonyítások változatai. Külön figyelmet szenteljen a segédkönyv az elkövethető hibáknak. Tartalmazza a tankönyvben közölt feladatok részletes ismertetését, a feladatok nehézségi fokuk szerinti csoportosítását. A nehezebb és a szebb feladatok megoldásának változatait. Bízzuk a pedagógusra. hogy mindebből mit és hogyan használ fel. Ha a segédkönyv valóban megfelel céljának, szívesen használják majd a pedagógusok.
A tanulók jegyzeteiről sem sok a mondanivaló. Általában használhatatlanok. Ez érthető is. Az általános- és középiskolai tanulók értelmi szintje még nem olyan magas, hogy önállóan jó jegyzeteket tudjanak készíteni. Erről könnyen meggyőződhet mindenki, aki átnézi a tanulók óra alatti jegyzeteit. A legmegdöbbentőbb tapasztalatokat gyűjthetjük össze egy-egy ilyen átnézés, vagy csak órán történő betekintés alkalmából. Sok tanuló megfigyelő képessége szinte a semmivel egyenlő. De nemcsak a megfigyelő képesség hiányában kell keresni a rossz jegyzetelés okát, hanem a dekoncentrációban és még néhány – már tárgyalt – tanulói gyarlóságban.
(A TANÁR) Vessük ezután tekintetünket a tanítás-tanulás szellemi tevékenységének szerintem legfontosabb tényezőjére: a pedagógusra. Mivel a személyes kapcsolat, a közvetlen ráhatás sokkal döntőbb tényező, mint a személytelen és holt tankönyv és jegyzet, a pedagógus szerepe, de egyben a felelőssége nyilván nagyobb, mint a többi tényezőnek. Neki kell elsősorban élővé és vonzóvá tenni a „száraz” matematikát, és ezen az úton meg is szerettetni. Két szempontból szeretném megvizsgálni a pedagógus szerepét, illetve felkutatni azokat a hibákat, amelyek az ő részéről nehezíthetik meg a matematika megtanulását.
A tanító felkészültsége az első szempont. Ez olyan önmagától értetődő kérdés, hogy kár is rá szót fecsérelni. A saját szakmájával mindenkinek tisztában kell lennie. De ez a pedagógia területén nem elég. Aki eredményesen akar tanítani, annak minden óra előtt és után számot kell vetnie munkájával. „Mi a célom ezen az órán? Mit akarok megtanítani és hogyan? Óra után: sikerült-e a célomat megvalósítani? Mit nem tudtam elérni, és mi ennek az oka? Milyen tárgyi és módszertani hibákat követtem el? Hogyan fogom ezeket a következő órán kijavítani?” A zavaros magyarázatok, amelyek után a tanulók többsége úgy érzi, hogy nem értette meg a tárgyalt anyagot, megölik a tanuló érdeklődését. Az a tanár, aki nem törődik azzal, hogy a tanult fogalmakat jól, helyesen ismerik-e tanítványai, aki nem győződik meg arról, hogy a tanultakat értik-e hallgatói, aki olyan feladattal, amelyet tíz perc alatt tökéletesen meg lehet oldani, egy óra alatt sem tud végezni, úgy, hogy kénytelen csengetéskor azt mondani, hogy majd „otthon utána nézek”, az nem várhat eredményt tanulóitól a matematika területén. Aki csak azt tartja kötelező munkájának, hogy „leadja” az óráját, az véleményem szerint hivatásbeli kötelességének legfeljebb tíz százalékát végzi el.
A. „mesterember” tanár, aki maga sem szereti tárgyát, aki hivatalnokként lép az iskolába, képtelen megszerettetni a matematikát, mert nem tud életet lehelni tárgyába. Pedig ez a feladat szinte kizárólagosan a pedagógusra hárul. Azok az idők már régen elmúltak, amikor a tanár azt mondta a diákjának: „nem érdekel, hogy érted-e; fújd!”. Persze az az ideális eset, hogy a tanuló már az iskolában megértse és meg is tanulja a leckét. De ez csak eszményi határeset; csak a legjobb tanulók kiváltsága. A többinek sok gondot, keserves perceket okozhat még a megértés munkája. Nem szabad sajnálnunk az időt arra, hogy megértsék a matematikát. Még akkor sem, ha egy-egy nehezebb, vagy meg nem értett résszel többször kell foglalkoznunk. Nemcsak az időt nem szabad sajnálni, hanem energiánkat sem. A tanárnak kell gondoskodnia arról, hogy tanítványai megismerjék a matematika gondolatvilágát. Az ő feladata, hogy a tanulók – amennyire csak lehetséges –, egységben lássák a matematikát. A tanár segítségével kell eljutniok a tanulóknak a feladatmegoldások módszereinek megismerésére, vagyis arra a készségre, hogy egy-egy felmerülő probléma esetén ismeretanyaguk tárából azokat az ismereteket emeljék a tudat felszínére, amelyek az adott feladat megoldására segítenek. A tanár legyen a „gondolkodás iskolája”. Ő késztesse a tanulókat gondolkodásra. Neki kell kitalálnia azokat a gondolkodtató kérdéseket, amelyek lassanként rávezetik a tanulókat a megértés és a gondolkodni tudás szintjére. (Volt egy tanítványom, aki sokáig nem tudott különbséget tenni két szám négyzetének összege és két szám összegének négyzete között. Mennyi különböző példát kellett kitalálnom, míg végre megláthattam szemének csillogásából, hogy „most már kérdezhetsz”.) A tanár kötelességei közé tartozik, hogy kipuhatolja, mit nem értettek meg a tanulók és miért nem értették meg.
Az ellenőrzés és számonkérés szempontjából ma sokkal előnyösebb helyzetben vagyunk, mint régebben. Ma egy rövidebb röpdolgozat szinte biztos felvilágosítást ad arról, tudják-e tanítványaink a megtárgyalt anyagot, értik-e a megismert fogalmakat és a bebizonyított tételek igazolását. Természetesen a röpdolgozat témáját, kérdéseit jól át kell gondolni: mi a célom, mire vagyok kíváncsi, mely kérdésekkel kaphatok legobjektívebb információkat? A dolgozatok és a feleletek adta információkból könnyen észrevehetem, hogy vannak-e olyan részek, melyeket nem értettek meg a tanulók. És ha látom, hogy az osztály nagy része nincs tisztában valamivel, vagy a tanulók panaszkodnak, hogy nem értik és nem szeretik a matematikát, akkor nem bennük, hanem bennem van a hiba.
Sajnos az emberi gyöngeséggel nekünk is számolnunk kell. „Wie schwer fällt es dem Erwachsenen doch immer, bei sich und nicht beim Kinde die Ursache eines schulischen Versagens zu suchen” – mondja Wagenschein.
Lichtenberg szerint „a matematika valóban nagyszerű tudomány, de a matematikusok néha még hóhérnak sem valók…” (Tag und Dämmerung, Leipzig 1941). Kemény ítélet, de sajnos nem csupán Lichtenberg magánvéleménye. Igen sok szülő, és az ő révükön a közvélemény egy része is ezt vallja. De tudjuk, hogy az ő véleményük gyermekeik elbeszéléseiből leszűrt nagyon is szubjektív vélemény. Viszont jó, ha mi is el-elgondolkozunk az ilyen ítéleteken.
A hivatalnok matematikus ellenpólusa a maximalista tanár, aki mindent, ami szép és jó, ami neki tetszik, bele akar tömni tanítványaiba. Nem gondol arra, hogy nemcsak túlterhelést okoz, hanem egyszer és mindenkorra elveszi kedvét a matematikától azoknak az átlagos tehetségű tanulóknak, akiknek munkáját maximalizmusával elviselhetetlenül megnehezíti. Még szerencse, hogy a tanulók egészséges ösztöne ilyenkor elég könnyen megtalálja a segítés módját. (Bár sokszor a maximalizmus vádjával illetik azokat a pedagógusokat is, akik egyetlen betűvel sem tanítanak többet, mint amit a tanterv előír; de azt, amit meg kell tanítaniok, nagyon alaposan végzik, és meg is követelik a lelkiismeretes munkát.)
De ne varrjunk minden hibát a pedagógus nyakába. Ha néha az anyag nagy mennyisége miatt sietnie kell, és ezért nem ér rá az alapfogalmak precíz kidolgozására, továbbá a rövid idő miatt a megértetés helyett a verbalizmus ingoványára téved, ha gondolkodtatás helyett szabályokat tanít, hogy valami „eredményt” mégis felmutasson; akkor ezért nem mindig a pedagógus a felelős.
Néhány szóval érinteni kell a pedagógus személyiségét is. Ennek látszólag semmi köze a mi kérdésünkhöz. De ne feledkezzünk meg arról, a pedagógusok nem holt anyaggal állnak szemben, hanem hozzájuk hasonló, autonóm személyekkel, akikre akarva, vagy nem akarva hat az ő személyük, mégpedig pozitíve vagy negatíve. Hogy a tanárnak szeretnie kell tárgyát, hogy tanítványaival is megszerettethesse: erről már volt szó. De tanítványait is szeretnie kell, és felelősséget kell éreznie jövőjük iránt. Ezért egyéniségének vonzó erejével kell vezetnie tanítványait. Elvszerű és következetes magatartásával kell megéreztetnie, hogy tanítványai érdekeiért és jövőjéért dolgozik.
Itt merül fel a kérdés: szigorú, vagy enyhe, elnéző legyen a matematika tanára? Tegyük hozzá rögtön a választ: egyik sem. A csak szigorú tanár elkeserít, elveheti a tanulók kedvét a tanulástól. Az enyhe, elnéző tanárnál sokszor az a veszély fenyeget, hogy tanítványai nem tanulnak. Valahol középütt van a megoldás. De hol? Aki ezt a középutat megleli, arról elmondhatjuk, hogy nemcsak tanár, hanem jó pedagógus is. De ezt a helyes középutat meglelni nem könnyű feladat, mert nem egy, hanem harminc, sőt negyven tanulóval állunk szemben, és amit az egyik talán túlzott szigorúságnak lát, azt a másik tanuló éppen nem érzi annak, sőt igényli ezt a szigorúságot, mert ismeri önmagát. Hogy én matematikatanár lettem, azt nagyon szigorú, következetes, de diákjait szerető matematikatanáromnak köszönhetem.
Forrás: VIGILIA 41 (1976)/3-4.
